U drugom dijelu matematičkih viceva tema će biti pogrešni dokazi. Naime, zasigurno ste negdje vidjeli neki "dokaz" da je [math]2+2=5[/math] ili slč. a ovdje će ih biti prezentirano još nekoliko.

♦ Navodno je ministar financija došao do zaključka da RH nema problema s vanjskim dugom. Kako je tijekom sjednice vlade elaborirao:

[display]1\ \textrm{euro} = 100\ \textrm{centa} = 10^2\ \textrm{centa} = 0.1^2\ \textrm{eura} = 0.01\ \textrm{eura} = 1\ \textrm{cent},[/display]

odnosno, vanjski dug je 100 puta manji od iskazanog pa problema nema.

♦ Sigurno niste znali da je [math]1=-1[/math]? Dokaz je trivijalan:

[display]1 = \sqrt{1}=\sqrt{(-1)\cdot (-1)}=\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=i\cdot i = i^2 = -1[/display]

♦ Koristeći Gaussovu dosjetku, lako je izračunati koliko je [math]1+2+4+8+\ldots[/math]. Označimo li s S traženu sumu, imamo

[display]S = 1+2+4+8+\ldots[/display]

a ako je pomnožimo s 2, dobijemo

[display]2S = 2+4+8+\ldots[/display]

Ukoliko od druge sume oduzmemo prvu sumu, dobijemo

[display]2S-S = 2+4+8+\ldots - (1+2+4+8+\ldots) = -1[/display]

♦ Pokažimo na jedan zgodan način da je [math]1=2[/math]. Očito vrijedi

[display]\begin{array}{rcccr}
1 &=& 1^2 &=& 1\\
2+2 &=& 2^2 &=& 4\\
3+3+3 &=& 3^2 &=& 9\\
4+4+4+4 &=& 4^2 &=& 16\\
& & \vdots & & \\
\underbrace{x+x+\ldots +x} &=& x^2 & & \\
x\ \textrm{puta}\qquad {} & & & &
\end{array}[/display]

Deriviramo li zadnji red po [math]x[/math], dobijemo

[display]\begin{array}{rcl}
\underbrace{1+1+\ldots + 1} &=& 2x\qquad\Rightarrow\qquad x=2x\\
x\ \textrm{puta}\qquad {} & &
\end{array}[/display]

odakle, dijeljenjem s [math]x[/math], slijedi [math]1=2[/math].

♦ Znamo iz trigonometrijskog zapisa kompleksnog broja da vrijedi

[display]\left( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \right)^3 = (-1)^3[/display]

Izvadimo li gore treći korijen, dobijemo

[display]\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i = -1[/display]

odnosno

[display]\frac{\sqrt{3}}{2}i = -\frac{3}{2}[/display]

te, dijeljenjem s [math]\frac{\sqrt{3}}{2}[/math] i sređivanjem

[display] i = -\sqrt{3}[/display]

♦ Jedan jako zgodan:

[display]\Large e=e^1 = e^{\frac{2\pi i}{2\pi i}}=\left( e^{2\pi i}\right)^{\frac{1}{2\pi i}}=1^{\frac{1}{2\pi i}} = 1[/display]

♦ Pokažimo da je [math]\ln 2 = 0[/math]. Znamo da vrijedi

[display]\begin{array}{rcl}
\ln 2 &=& 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\ldots\\
&=& \left( 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\ldots\right) - \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\ldots \right)\\
&=& \left( 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\ldots\right) + \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\ldots \right) - 2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\ldots \right)\\
&=& \left(1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots \right) - \left(1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots \right)\\
&=& 0
\end{array}[/display]

I to bi bilo to za ovaj put. :-) Ugodna Vam zabava. :-)