Važna kategorija, osobito s aspekta primjena, diferencijalnih jednadžbi prvog reda su linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda. Kako se mnogo toga u prirodi i tehnici može modelirati kao linearna diferencijalna jednadžba prvog reda, uputno je naučiti rješavati ih, što nije osobito teško, ali i naučiti osnovne matematičke modele koji se njima opisuju.

Mnoge od običnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda se mogu riješiti metodom separacije varijabli. Većinu ostalih diferencijalnih jednadžbi prvog reda možemo nekom supstitucijom svesti na onu koja se rješava metodom separacije varijabli. Dakle, metodu separacije varijabli svakako treba dobro usvojiti. :-)

Metoda je ilustrirana zadatcima s pismenih ispita nekih zagrebačkih fakulteta (FER, FSB, EFZG).

Danas sam, u materijalima za pripremu ispita za studente Građevinskog fakulteta u Zagrebu, vidio zgođušan integral koji glasi otprilike ovako (malo promijenjeni brojevi):

[display]\int\frac{\ln\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}dx.[/display]

Na prvi sam pogled pomislio da bi se taj integral rješavao metodom supstitucije, ali sam na drugi zaključio da se ipak rješava metodom parcijalne integracije. :-)

Na Fakultetu elektrotehnike i računalstva (FER-u) u Zagrebu je na 2. međuispitu iz Matematike 3R održanom 2. 12. 2009. zadan sljedeći zadatak:

Na koliko načina Anica, Marica, Pero i Ivica mogu podijeliti 40 jabuka, ako Ivica mora dobiti barem jednu, Pero mora dobiti barem dvije, a Marica i Anica ne smiju dobiti više od 5 jabuka?

Zadatak na vrlo lijep način ilustrira korištenje funkcija izvodnica u kombinatorici.

Jedan zgodan zadatak iz funkcije kompleksne varijable. Imamo Weierstrassovu definiciju gama-funkcije i Eulerovu refleksijsku formulu (eng. Euler Reflection formula).

Polazeći od Weierstrassove definicije gama funkcije

[display]\frac{1}{\Gamma(z)}=ze^{\gamma z}\prod_{n=1}^{\infty}\left( 1+\frac{z}{n} \right)e^{-z/n},[/display]

gdje je [math]\gamma[/math] Eulerova konstanta, pokažite da vrijedi

[display]\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin \pi z}.[/display]