Heronova formula je elementarna formula za izračunavanje površine trokuta, ukoliko su poznate duljine njegovih stranica. Premda se zove po Heronu Aleksandrijskom (10? - 75?), bila je poznata još Arhimedu (287? - 212? pr. Kr.)

Neka su dane duljine stranica trokuta [math]a,b,c[/math]. Heronova formula glasi:

[display]P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\quad s=\frac{a+b+c}{2},[/display]

gdje je [math]s[/math] poluopseg trokuta.

Da bi dokazali formulu, sjetimo se da je površina trokuta jednaka polovici umnoška duljine stranice i duljine visine na nju, odnosno

[display]P=\frac{1}{2}av_a = \frac{1}{2}b v_b = \frac{1}{2} c v_c.[/display]

Heronovu formulu ćemo naći tako da izračunamo duljinu visine [math]v_c[/math], na slici označeno s [math]v[/math], na stranicu [math]c[/math].

Iz Pitagorinog poučka imamo

[display]v^2 = b^2 - x^2,\quad\textrm{i}\quad v^2 = a^2-(c-x)^2,[/display]

odakle slijedi

[display]b^2 - x^2 = a^2-(c-x)^2 [/display]

i, nakon rješavanja po [math]x[/math]

[display]x = \frac{b^2-a^2+c^2}{2c}.[/display]

Sada taj [math]x[/math] uvrstimo u jedan od gornjih izraza za visinu:

[display]\begin{array}{rcl}
v^2 &=& b^2 - x^2\\
&=& b^2 -\displaystyle \left( \frac{b^2-a^2+c^2}{2c} \right)^2\\
&=& \displaystyle \left( b- \frac{b^2-a^2+c^2}{2c}\right)\left( b+\frac{b^2-a^2+c^2}{2c} \right)\\
&=& \displaystyle \frac{2bc-b^2+a^2-c^2}{2c}\frac{2bc+b^2-a^2+c^2}{2c}\\
&=& \displaystyle \frac{a^2 - (b-c)^2}{2c}\frac{(b+c)^2-a^2}{2c}\\
&=& \displaystyle \frac{[a-(b-c)][a+(b-c)]}{2c}\frac{[(b+c)-a][(b+c)+a]}{2c}\\
&=& \displaystyle \frac{(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c)}{4c^2}
\end{array}[/display]

Sada ćemo iskoristiti [math]s=\frac{a+b+c}{2}[/math], odakle slijedi [math]2s = a+b+c[/math] i konačno

[display]2s-2a = a+b+c-2a\quad\Rightarrow\quad 2(s-a)= -a+b+c.[/display]

Slično se dobije i da je [math]2(s-b)=a-b+c[/math] i [math]2(s-c)=a+b-c[/math], pa je

[display]v^2 = \frac{2(s-b)\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-a)\cdot 2s}{4c^2}=4\frac{s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2},[/display]

odnosno

[display]v = \frac{2}{c}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},[/display]

što uvršteno u [math]P=\frac{1}{2}cv[/math] konačno daje Heronovu formulu

[display]P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.[/display]

Osim gornjeg oblika, Heronova formula se može zapisati i u sljedeća dva oblika koji su za neke vrijednosti duljina stranica (primjerice, ako su duljine stranica korijeni) pogodniji za računanje:

[display]P=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) - (a^4+b^4+c^4)}[/display]

[display]P=\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2 - 2(a^4+b^4+c^4)}[/display]

Treba primijetiti da se iz izvoda formule vidi da ako su poznate duljine stranica trokuta, visine se mogu izračunati iz formula

[display]v_a = \frac{2}{a}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},[/display]

[display]v_b = \frac{2}{b}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},[/display]

[display]v_c= \frac{2}{c}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}[/display]

što u nekim situacijama isto zna biti korisno.

Zadatak 1. Izračunaj površinu trokuta duljina stranica 5, 7, 8.

Rješenje. Izračunajmo prvo poluopseg:

[display]s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{5+7+8}{2}=10[/display]

Površina je, dakle

[display]P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{10(10-5)(10-7)(10-8)}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}.[/display]

Zadatak 2. Izračunaj površinu trokuta kojemu su duljine stranica [math]\sqrt{11},\sqrt{13},\sqrt{15}[/math].

Uputa. Koristite jedan od druga dva oblika Heronove formule.

Zadatak 3. Izračunajte duljine visina trokuta u prethodna dva zadatka.