Ispit Državne mature iz Matematike na višoj razini u ljetnom roku školske 2009./10. godine je održan 27. svibnja 2010. godine. Ovdje su rješenja zadataka koje je točno riješilo manje od 50% pristupnika.

11. Koliki je zbroj rješenja jednadžbe [math]\displaystyle 5^{x+2} + \left(\frac{1}{5}\right)^{x+1}=6[/math]?

Rješenje. Napišemo li jednadžbu tako da ima samo bazu 5, imamo

[display]5^{x+2} + 5^{-x-1}=6,[/display]

odakle, rješavanjem konstantnih članova iz eksponenata, slijedi

[display]25\cdot 5^x + \frac{1}{5}\cdot 5^{-x}=6,[/display]

te, množenjem s [math]5[/math] i [math]5^x[/math] i nakon sređivanja

[display]125\cdot 5^{2x} - 30\cdot 5^x + 1=0.[/display]

Supstitucijom [math]5^x = t[/math] gornja jednadžba prelazi u kvadratnu [math]125 t^2 - 30 t + 1 = 0[/math] čija su rješenja [math]t_1=\frac{1}{5}[/math], [math]t_2=\frac{1}{25}[/math], pa vraćanjem supstitucije imamo:

[display]\begin{array}{ccc}
\displaystyle 5^x = \frac{1}{5}=5^{-1} &\qquad& 5^x = \frac{1}{25}=5^{-2}\\[10pt]
x_1 = -1 & & x_2 = -2
\end{array}[/display]

Konačno je

[display]x_1 + x_2 = -1 + (-2)=-3.[/display]

Napomena. Zadatak je točno riješilo 38% pristupnika, dok je odgovor B) i C) ponudilo po 21%, a odgovor D) 19%

14. Puna metalna kocka brida [math]a[/math] pretopljena je u kuglu. Koliki je promjer te kugle?

Rješenje. Kocka brida [math]a[/math] ima volumen [math]V=a^3[/math]. Volumen kugle je, pak, dan formulom [math]V_k = \frac{4}{3}r^3\pi[/math], pa je

[display]\frac{4}{3}r^3\pi = a^3[/display]

odakle se lako izračuna polumjer kugle [math]r = \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi}}\cdot a\approx 0.62\cdot a[/math]. Kako se traži promjer, zadnje pomnožimo s 2 i dobijemo

[display]2r = 1.24\cdot a[/display]

Napomena. Zadatak je točno riješilo 48% pristupnika, dok je A) ponudilo 15%, C) 23% i D) 13%.

15. Uz koji uvjet za realni broj [math]m \neq 0[/math] jednadžba [math]m\sin x - 1 = 0[/math] ima rješenja?

Rješenje. Napišimo ju malo drukčije.

[display]m\sin x - 1 = 0\quad\Rightarrow\quad \sin x = \frac{1}{m}.[/display]

Da bi zadnja jednadžba imala rješenje, zbog ograničenosti sinusa, mora vrijediti

[display]\left| \frac{1}{m}\right|\leq 1\quad\Rightarrow\quad |m|\geq 1\quad\Rightarrow\quad m\in\langle -\infty,-1] \cup [ 1,+\infty\rangle = \mathbf{R}\backslash\langle -1,1\rangle[/display]

Napomena. Zadatak je točno riješilo 20% pristupnika, dok je odgovor A) ponudilo 35%, B) 12% i D) 32%.

18.2. Zadana je točka [math]A(1,2)[/math] i usmjerena dužina [math]\overrightarrow{AB}=4\vec{i} - 4\vec{j}[/math]. Odredite jednadžbu pravca kojemu pripada ta dužina.

Rješenje. Točka [math]A[/math] ima radij-vektor [math]\vec{r}_A = \vec{i} + 2\vec{j}[/math]. Zbrajanjem s vektorom [math]\overrightarrow{AB}[/math] se dobije radij-vektor točke [math]B[/math]:

[display]\vec{r}_B = \vec{r}_A + \overrightarrow{AB} = (\vec{i} + 2\vec{j}) + (4\vec{i} - 4\vec{j}) = 5\vec{i} - 2\vec{j},[/display]

pa je [math]B(5,-2)[/math].

Formula za jednadžbu pravca kroz točke [math]A(x_1,y_1)[/math] i [math]B(x_2,y_2)[/math] glasi

[display]y-y_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1),[/display]

pa, nakon uvrštavanja i sređivanja dobijemo [math]y=-x+3[/math].

Napomena. Zadatak je točno riješilo 32% pristupnika, ostali ili netočno, ili ga nisu ni rješavali.

20.1. Neka je [math]z=3+2i[/math]. Koliko je [math](iz\overline{z})^4[/math]?

Rješenje. Uvrstimo [math]z[/math] u izraz:

[display](iz\overline{z})^4 = (i(3+2i)(3-2i))^4 = (i(3^2-(2i)^2))^4=(13i)^4=13^4=28\,561[/display]

Napomena. Zadatak je točno riješilo 41% pristupnika.

20.2. Kompleksan broj [math]z=2i[/math] prikažite u trigonometrijskom obliku.

Rješenje. Modul zadanog kompleksnog broja je [math]r=|z|=|2i|=2[/math], dok kut između pozitivnog dijela realne osi i dužine [math]Oz[/math] iznosi [math]\frac{\pi}{2}[/math], pa je

[display]z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = 2\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)[/display]

Napomena. Zadatak je točno riješilo 16% pristupnika.

23.2. Koje je rješenje jednadžbe [math]\sin(x-\pi)\sin(x+2\pi)=3\cos(x+3\pi)\cos(x-4\pi)[/math] iz intervala [math][\frac{\pi}{2},\pi][/math]?

Rješenje. Svođenjem na prvi kvadrant, jednadžba prelazi u

[display]-\sin x \sin x = 3 (-\cos x)\cos x\quad\Rightarrow\quad -\sin^2 x = -3\cos^2 x.[/display]

Dijeljenjem s [math]-\cos^2 x[/math] imamo

[display]\mathrm{tg}^2\, x = 3\quad\Rightarrow\quad \mathrm{tg}\, x = \pm\sqrt{3}\quad\Rightarrow\quad x = \pm\frac{\pi}{3}+k\cdot\pi,\ k\in\mathbf{Z}.[/display]

Za glavnu vrijednost kuta [math]-\frac{\pi}{3}[/math] i [math]k=1[/math] dobijemo rješenje [math]x=\frac{2\pi}{3}[/math] koje se nalazi u zadanom intervalu.

Napomena. Zadatak je točno riješilo 13% pristupnika. (!?)

24.2. Tri pozitivna broja čine geometrijski niz. Umnožak prvoga i trećega člana je 1.44. Koji je drugi član niza.

Rješenje. Geometrijski niz se tako zove jer je svaki član, osim prvoga, geometrijska sredina svojih susjeda. Konkretno ovdje je:

[display]a_2 = \sqrt{a_1\cdot a_3}=\sqrt{1.44}=1.2[/display]

Napomena. Zadatak je točno riješilo 40% pristupnika.

25.2. Parabola je zadana jednadžbom [math]y^2 = 12 x[/math]. Kolika je udaljenost fokusa te parabole od pravca [math]y=2x+5[/math]?

Rješenje. Opća jednadžba parabole glasi [math]y^2=2px[/math], pa lako nalazimo da je [math]p=6[/math]. Nadalje, koordinate tjemena su [math]T(\frac{p}{2},0)=T(3,0)[/math].

Implicitni oblik zadanog pravca je [math]2x-y+5=0[/math].

Udaljenost točke [math]T(x_1,y_1)[/math] od pravca [math]Ax+By+C=0[/math] se računa formulom

[display]D(T,p) = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}},[/display]

pa kada se sve uvrsti, dobije se

[display]d(T,p)=\frac{|2\cdot 3 - 1\cdot 0 + 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}=\frac{11}{\sqrt{5}}=\frac{11\sqrt{5}}{5}.[/display]

Napomena. Zadatak je točno riješilo 38% pristupnika.

25.3. Parabola zadana jednadžbom [math]y^2 = 2px[/math] ima fokus [math]F(1,0)[/math] i prolazi točkom [math]A(x,-3)[/math]. Odredite jednadžbu tangente na tu parabolu u njezinoj točki [math]A[/math].

Rješenje. Iz fokusa [math]F(1,0)=F(\frac{p}{2},0)[/math] nalazimo da je [math]p=2[/math], pa je jednadžba parabole [math]y^2=2px=4x[/math].

Kako parabola prolazi točkom [math]A(x,-3)[/math], to njene koordinate moraju zadovoljavati jednadžbu parabole:

[display]y^2=4x\quad\Rightarrow\quad (-3)^2 = 4\cdot x \quad\Rightarrow\quad  x=\frac{9}{4},[/display]

pa su koordinate točke [math]A(\frac{9}{4},-3)[/math].

Formula za tangentu parabole u njenoj točki glasi [math]y_1 y = p(x+x_1)[/math], pa uvrštavanjem i sređivanjem dobijemo

[display]-3y = 2\left(x+\frac{9}{4}\right)\quad\Rightarrow\quad y=-\frac{2}{3}x - \frac{3}{2}[/display]

Napomena. Zadatak je točno riješilo 32% pristupnika.

26. (Prvi dio) Povećanje troškova života u travnju u odnosu na ožujak je 4.2%, a u svibnju u odnosu na travanj je 3.5%. Koliki je postotak povećanja troškova života u svibnju u odnosu na ožujak?

Rješenje. Označimo postotni faktor s [math]r=1+\frac{p}{100}[/math]. Postotni faktor povećanja troškova života u svibnju u odnosu na ožujak jednak je umnošku postotnih faktora za svaki od mjeseca, tj.

[display]\left(1+\frac{4.2}{100}\right)\cdot \left( 1+\frac{3.5}{100}\right) = 1+\frac{7.847}{100},[/display]

pa je postotak povećanja 7.847%.

26. (Drugi dio) Povećanje troškova života u listopadu u odnosu na rujan je 3.8%. Za koliko bi se posto morali smanjiti troškovi života u studenome da bi se vratili na stanje u rujnu?

Rješenje. Nakon povećanja troškova života, postotni faktor iznosi [math]1+\frac{3.8}{100}=1.038[/math]. Tražimo postotak [math]p[/math] takav da se nakon smanjenja troškova života postotni faktor vrati na 1, tj. da vrijedi

[display]1.038 - \frac{p}{100}\cdot 1.038 = 1\quad\Rightarrow\quad p = 3.66\%.[/display]

Napomena. Zadatak je točno riješilo 21% pristupnika, a djelomično točno isto 21%.

27. Riješite nejednadžbu [math]\log_2 (x-1) + \log_2(x-3)\leq 3[/math]. Rješenje zapišite pomoću intervala.

Rješenje. Nejednadžba ima rješenja za
[math]x-1>0\quad\Rightarrow\quad x>1[/math], i
[math]x-3>0\quad\Rightarrow\quad x>3[/math],
ukupno kada je [math]x>3[/math].

Riješimo se logaritama!

[display]\log_2 (x-1) + \log_2(x-3)\leq 3 \quad\Rightarrow\quad \log_2 (x-1)(x-3)\leq 3\log_2 2 =\log_2 2^3[/display]

Kako je [math]\log_2 x[/math] rastuća i neprekidna funkcija, možemo je gore "skratiti", pa imamo dalje

[display](x-1)(x-3)\leq 8\quad\Rightarrow\quad x^2 - 4x-5\leq 0.[/display]

Rješenje gornje nejednadžbe je [math][-1,5][/math] što, u presjeku s uvjetom pod kojim postoji rješenje ([math]x>3[/math]), konačno daje [math]\langle 3,5][/math].

Napomena. Zadatak je točno riješilo 10% pristupnika, a djelomično točno 14%.

29. Zadana je funkcija [math]f(x)=-\frac{1}{4}(x^2-16)(x+1)[/math].

29.1. Odredite koordinate sjecišta grafa funkcije s osi apscisa.

Rješenje. Treba riješiti jednadžbu:

[display]-\frac{1}{4}(x^2-16)(x+1)=0\quad\Rightarrow\quad x^2-16=0\quad\textrm{ili}\quad x+1=0,[/display]

pa su nultočke od prvoga dijela [math]-4,4[/math], a od drugoga [math]-1[/math], odnosno

[display]T_1(-4,0),\quad T_2(-1,0),\quad T_3(4,0).[/display]

29.2. Derivirajte funkciju [math]f[/math].

Rješenje.

[display]f'(x)=-\frac{1}{4}[(x^2-16)'\cdot (x+1) + (x^2-16)\cdot (x+1)'] = -\frac{1}{4}(3x^2+2x-16).[/display]

29.3. Odredite interval/intervale rasta funkcije [math]f[/math].

Rješenje. Stacionarne točke su nultočke prve derivacije, odnosno

[display]f'(x)=-\frac{1}{4}(3x^2+2x-16)=0\quad\Rightarrow\quad x_1=-\frac{8}{3},\ x_2=2.[/display]

Na intervalu [math]\langle -\infty,-\frac{8}{3} \rangle[/math] je [math]f'(x)<0[/math] pa funkcija pada.

Na intervalu [math]\langle -\frac{8}{3}, 2\rangle[/math] je [math]f'(x)>0[/math] pa funkcija raste.

Na intervalu [math]\langle 2,+\infty \rangle[/math] je [math]f'(x)<0[/math] pa funkcija pada.

Dakle, funkcija raste na [math]\langle -\frac{8}{3}, 2\rangle[/math].

29.4. Odredite lokalne ekstreme funkcije [math]f[/math].

Rješenje. Funkcija je svuda neprekidna. Kako pada do [math]-\frac{8}{3}[/math], a iza toga raste, tu se nalazi minimum, odnosno

[display]T_{\mathrm{min}}\left(-\frac{8}{3},-\frac{100}{27} \right).[/display]

Kako funkcija raste do 2, a iz pada, tu se nalazi maksimum, odnosno

[display]T_{\mathrm{max}}(2,9).[/display]

29.5. Nacrtaj graf koristeći rezultate prethodnih podzadataka.

Rješenje.

Napomena. Postotci pristupnika koji su točno ili djelomično točno riješili podzadatke je:

[display]\begin{array}{lccccc}
& 29.1 & 29.2 & 29.3 & 29.4 & 29.5\\
\textrm{T} & 46\% & 48\% & 28\% & 25\% & 21\%\\
\textrm{DT} & 10\% & - & 13\% & 10\% & 8\%
\end{array}[/display]