Ispit Državne mature iz Matematike na osnovnoj razini u ljetnom roku školske 2009./10. godine je održan 27. svibnja 2010. godine. Ovdje su rješenja zadataka koje je točno riješilo manje od 50% pristupnika.

I. Zadatci višestrukog izbora

6. Brod je isplovio iz luke. Najprije je 2 sata plovio prema istoku brzinom 12 km/h, a onda se okrenuo prema sjeveru i 5 sati plovio brzinom 14 km/h. Koliko je nakon tih 7 sati plovidbe bio udaljen od luke?

A) 69 km           B) 74 km           C) 79 km           D) 84 km

Rješenje. Tijekom prva dva sata plovidbe, broj je prešao

[display]12\ \mathrm{km/h}\cdot 2\ \mathrm{h} = 24\ \mathrm{km}.[/display]

Nakon skretanja na sjever (pod pravim kutem!), u narednih 5 h je prešao

[display]14\ \mathrm{km/h}\cdot 5\ \mathrm{h} = 70\ \mathrm{km}.[/display]

Prijeđeni putevi predstavljaju katete pravokutnog trokuta, pa je nakon 7 sati plovidbe brod od luke udaljen (Pitagorin poučak)

[display]\sqrt{(24\ \mathrm{km})^2 + (70\ \mathrm{km})^2} = \sqrt{5476\ \mathrm{km}^2} = 74\ \mathrm{km}[/display]

Napomena. Točno je odgovorilo 44% pristupnika; dok je odgovor D) ponudilo 35%.

10. Ljudsko srce tijekom jednoga dana otkuca oko 100 tisuća puta. Koliko puta otkuca srce čovjeka tijekom 70 godina života?

A) [math]2.6\cdot 10^7[/math]           B) [math]2.6\cdot 10^8[/math]           C) [math]2.6\cdot 10^9[/math]           D) [math]2.6\cdot 10^{10}[/math]

Rješenje. Godina se sastoji od 365 dana, pa 70 godina ima [math]70\cdot 365 = 25550[/math] dana. Svakog od tih dana srce napravi 100 000 otkucaja, odnosno ukupno

[display]100\,000\cdot 25\,500 = 2\,555\,000\,000.[/display]

Gornji broj treba prikazati u znanstvenom zapisu, odnosno kao umnožak decimalnog broja i potencije broja 10:

[display]2\,555\,000\,000 = 2.555\cdot 10^9\approx 2.6\cdot 10^9[/display]

Napomena. Zadatak je točno riješilo 46% pristupnika, dok je A) ponudilo 26%, a B) 19%.

11. Na slici je graf funkcije [math]f(x)=ax^2+bx+c[/math]. Što od navedenoga vrijedi za vodeći koeficijent [math]a[/math] i diskriminantu [math]D[/math]?

A) [math]a>0,\ D>0[/math]           B) [math]a>0,\ D<0[/math]           C) [math]a<0,\ D>0[/math]           D) [math]a<0,\ D<0[/math]

Rješenje. Kako je parabola okrenuta otvorom prema dolje, to je [math]a<0[/math]. Nadalje, kako parabola ne siječe x-os, to je i [math]D<0[/math]. Točan odgovor je pod D).

Napomena. Točno je odgovorilo 41% pristupnika, dok je odgovor C) ponudilo 25%, a odgovor B) 24%.

13. Cijena [math]c[/math] iznajmljivanja bungalova na [math]n[/math] tjedana dana je formulom [math]c = t ⋅n + d[/math] ([math]t[/math] je iznos tjednoga najma, [math]d[/math] je sigurnosni depozit). Martina je za 3 tjedna platila 2 092 kn, a Maja za 5 tjedana 3 412 kn. Koliki je sigurnosni depozit?

A) 112 kn         B) 224 kn          C) 308.70 kn          D) 639.80 kn

Rješenje. Uvrstimo poznato. Martina je za 3 tjedna platila 2 092 kn, odnosno

[display]2092 = t\cdot 3 + d\qquad (*)[/display]

dok je Maja za 5 tjedana platila 3 412 kn, odnosno

[display]3412 = t\cdot 5 + d\qquad (**)[/display]

Jednadžbe [math](*)[/math] i [math](**)[/math] čine sustav od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice:

[display]\begin{array}{rcl}
3t + d &=& 2092\\
5t + d &=& 3412
\end{array}[/display]

koji možemo riješiti, primjerice, metodom eliminacije ili, pak, metodom suprotnih koeficijenata. Riješit ćemo ga ovdje metodom suprotnih koeficijenata. Pomožimo li prvu jednadžbu s [math]-5[/math] a drugu s [math]3[/math] dobijemo

[display]\begin{array}{rcl}
-15t -5 d &=& -10460\\
15t + 3d &=& 10236
\end{array}[/display]

pa nakon što te dvije jednadžbe zbrojimo, imamo:

[display]-2d = -224\quad\Rightarrow\quad d= 112[/display]

Sigurnosni depozit je 112 kn.

Napomena. Zadatak je točno riješilo 42% pristupnika, dok je odgovor B) ponudilo 24%, a odgovor C) 18%

14. Koji je rezultat oduzimanja [math]\displaystyle \frac{2x}{x^2-4} - \frac{1}{x-2}[/math], za [math]x\neq \pm 2[/math]?

A) [math]\displaystyle\frac{1}{x+2}[/math]          B) [math]\displaystyle\frac{2x-1}{x+2}[/math]         C) [math]\displaystyle\frac{1}{x-2}[/math]         D)[math]\displaystyle\frac{1}{x^2-4}[/math]

Rješenje. Kako je [math]x^2-4 = (x-2)(x+2)[/math], to je najmanji zajednički višekratnik polinoma [math]x^2-4[/math] i [math]x-2[/math], ujedno i zajednički nazivnik, upravo [math]x^2-4[/math]. Sada je

[display]\frac{2x}{x^2-4} - \frac{1}{x-2} = \frac{2x\cdot 1 - 1\cdot(x+2)}{x^2-4}=\frac{2x-x-2}{x^2-4}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=\frac{1}{x+2}[/display]

Napomena. Zadatak je točno riješilo 31% pristupnika, dok je odgovor B) ponudilo 27%, odgovor C) 25% i odgovor D) 16% pristupnika.

II. Zadatci kratkih odgovora

21. Nacrtajte pravac zadan jednadžbom [math]2x + 3y = 6[/math].

Rješenje. Zadatak se može riješiti na više načina. Vjerojatno najjednostavniji je odrediti dvije točke tog pravca, odnosno dva uređena para koji zadovoljavaju jednadžbu pravca, označiti ih u ravnini i provući pravac kroz njih. Odaberemo dvije vrijednosti varijable [math]x[/math], primjerice [math]x=-3[/math] i [math]x=3[/math], te izračunamo pripadajuće vrijednosti varijable [math]y[/math].

Za [math]x=-3[/math] je [math]2\cdot (-3) + 3y = 6\qquad\Rightarrow\qquad y=4[/math].

Za [math]x=3[/math] je [math]2\cdot 3 + 3y = 6\qquad\Rightarrow\qquad y=0[/math].

Označimo točke [math]A(-3,4)[/math] i [math]B(3,0)[/math] i provucimo pravac kroz njih.

Napomena. Zadatak je točno riješilo 36% pristupnika, netočno 38% dok 26% nije odgovorilo.

22. Riješite kvadratnu jednadžbu [math]x^2-2\sqrt{3}x+2=0.[/math] U zapisu rješenja rabite [math]\sqrt{3}[/math] ne računajući njegovu vrijednost.

Rješenje. Koeficijenti kvadratne jednadžbe su [math]a=1[/math], [math]b=-2\sqrt{3}[/math], [math]c=2[/math], pa kada to uvrstimo u formulu za rješavanje kvadratne jednadžbe

[display]x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/display]

imamo

[display]\begin{array}{rcl}
x_{1,2} &=&\displaystyle \frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{(-2\sqrt{3})^2 - 4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=\frac{2\sqrt{3}\pm \sqrt{4\cdot 3 - 8}}{2}\\
&=&\displaystyle  \frac{2\sqrt{3}\pm 2}{2} = \sqrt{3}\pm 1
\end{array}[/display]

Dakle, [math]x_1=\sqrt{3}-1[/math], [math]x_2=\sqrt{3}+1[/math]

Napomena. Zadatak je riješilo 34% pristupnika, dok je 46% riješilo netočno.

24. Zadani su paralelogram [math]ABCD[/math] i pravokutan trokut [math]CEF[/math]. Kateta [math]\overline{EF}[/math] je 7 puta kraća od stranice [math]\overline{AB}[/math]. Površina trokuta [math]CEF[/math] iznosi 12 cm².

Kolika je duljina stranice [math]\overline{AB}[/math], a kolika površina paralelograma [math]ABCD[/math]?

Rješenje. Površina pravokutnog trokuta se računa formulom [math]P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b[/math], gdje su [math]a, b[/math] njegove katete. Kako znamo površinu trokuta [math]CEF[/math] i  njegovu katetu [math]|CE|[/math], uvrštavanjem dobivamo

[display]P=\frac{1}{2}\cdot |CE|\cdot |EF|\quad\Rightarrow\quad 12 = \frac{1}{2}\cdot 5\cdot |EF|\quad\Rightarrow\quad |EF|=\frac{24}{5}=4.8\ \textrm{cm}[/display]

pa je

[display]|AB|=7\cdot|EF|=7\cdot 4.8 = 33.6\ \textrm{cm}.[/display]

Površina paralelograma se računa formulom [math]P=a\cdot v[/math], gdje su [math]a[/math] stranica paralelograma i [math]v[/math] visina na tu stranicu, pa lako računamo da je

[display]P=|AB|\cdot v = 33.6\cdot 5 = 168\ \textrm{cm}^2[/display]

Napomena. Zadatak je točno riješilo 32% pristupnika, dok je netočno odgovorilo 33%. Ostali nisu odgovorili.

25.2. Riješite nejednadžbu [math]\displaystyle\frac{5x-3}{6}-\frac{3x}{2}>1[/math].

Rješenje. Pomnožimo li nejednadžbu sa zajedničkim nazivnikom, ovdje je to 6, dobijemo

[display]5x-3-9x>6[/display]

odakle slijedi

[display]-4x>9[/display]

i, konačno (množenjem ili dijeljenjem s negativnim brojem se znak nejednakosti "okreće"),

[display]x<-\frac{9}{4}[/display]

Napomena. Zadatak je točno riješilo 26% pristupnika, netočno 56% dok ga 17% nije riješilo.

26. Za 120 kn mogle su se kupiti dvije čokolade više nego nakon njihova poskupljenja od 25%.

26.1. Koliko se čokolada moglo kupiti prije poskupljenja?

26.2. Kolika je cijena jedne čokolade nakon poskupljenja?

Rješenje 26.1. Ako s [math]n[/math] označimo broj čokolada, onda je cijena jedne čokolade prije poskupljenja bila [math]\frac{120}{n}[/math]. Nakon poskupljenja od [math]25\%=\frac{25}{100}[/math], cijena čokolade je [math]\frac{120}{n}+\frac{25}{100}\cdot\frac{120}{n}[/math], te možemo kupiti dvije čokolade manje, odnosno, cijena svake je [math]\frac{120}{n-2}[/math]. Postavimo jednadžbu:

[display]\frac{120}{n} + \frac{25}{100}\cdot\frac{120}{n}=\frac{120}{n-2}[/display]

Nakon množenja sa zajedničkim nazivnikom, ovdje je to [math]100n(n-2)[/math], dobijemo jednadžbu

[display]12000(n-2) + 3000(n-2)=12000n[/display]

čije je rješenje [math]n=10[/math].

Rješenje 26.2. Sada je lako naći cijenu čokolade nakon poskupljenja:

[display]\frac{120}{n-2}=\frac{120}{8}=15\ \mathrm{kn}.[/display]

Napomena. 26.1. je točno riješilo 12% pristupnika, netočno 61%, dok ga nije riješilo 27%; 26.2. je točno riješilo 15% pristupnika, netočno 55% dok ga 30% nije riješilo. Malo mi je nejasno kako je drugi dio zadatka uspjelo riješiti više pristupnika...

27. Karmela i Karlo krenuli su skupa od kuće prema školi. Išli su zajedno do mjesta [math]K[/math] ucrtanim putem, a onda je Karmela otišla prečicom (iscrtkana crta), a Karlo okolnim putem (puna crta). Koordinate na crtežu dane su u metrima.

27.3. Za koliko je Karmela prešla kraći put od Karla, hodajući od kuće do škole?

Rješenje. Od mjesta rastanka, Karlo je prešao

[display]3\cdot 50\ \mathrm{m} + 4\cdot 100\ \mathrm{m} = 550\ \mathrm{m},[/display]

dok je Karmela prešla (hipotenuza pravokutnog trokuta!)

[display]\sqrt{(3\cdot 50\ \mathrm{m})^2 + (4\cdot 100\ \mathrm{m})^2}=427.2\ \mathrm{m}.[/display]

Karmela je prešla [math]550-427.2 = 122.8[/math] m kraći put.

Napomena. Zadatak 27.3. je točno riješilo 17% pristupnika, 70% netočno, dok ga 13% nije riješilo.

28. U posudici u kojoj se smrzava voda nastaje led oblika kvadra dimenzija 3.5 cm × 3 cm × 2 cm. Pri smrzavanju obujam vode poveća se za 5%.

28.1. Koliko je vode potrebno za jedan takav oblik leda?

28.2. Koliko se takvih oblika leda može napraviti od 1 litre vode? (Napomena: 1 litra = 1 dm³.)

Rješenje 28.1. Označimo s [math]x[/math] volumen vode potreban da se dobije [math]3.5\times 3\times 2=21\ \mathrm{cm}^3[/math] leda. Prilikom smrzavanja vode volumena [math]x[/math], njen volumen se poveća za 5%, odnosno

[display]x + \frac{5}{100}x=21\quad \Rightarrow\quad x=20\ \mathrm{cm}^3.[/display]

Rješenje 28.2. Preračunajmo sve prvo u cm³. Znamo da je

[display]1\ \mathrm{dm}^3=(10\ \mathrm{cm})^3=1000\ \mathrm{cm}^3,[/display]

pa je volumen leda dobiven smrzavanjem [math]1000\ \mathrm{cm}^3 + \frac{5}{100}1000\ \mathrm{cm}^3=1050\ \mathrm{cm}^3[/math]. Dijeljenjem tog volumena s volumenom svake od "kockica" dobijemo broj "kockica":

[display]n=\frac{1050\ \mathrm{cm}^3}{21\ \mathrm{cm}^3}=50.[/display]

Napomena. Zadatak 28.1. je točno riješilo 4% pristupnika, netočno 66%, dok ga nije riješilo 30%. Zadatak 28.2. je točno riješilo 8% pristupnika, netočno 49%, dok ga nije riješilo 42%. Opet imamo fenomen da je drugi dio zadatka rješavaniji od prvog dijela.